IREM de Caen Normandie

Extension de pavages pentagonal et dodécagonal en « Rosace céleste »

admin — 2020-05-06T08:08:09Z

Dans le document joint Danielle Salles-Legac présente un ensemble de constructions à partir de pavages pentagonaux et dodécagonaux.

- GEOMETRIE

Activités autour des pavages de Frédéric Mansuy

Danielle.salles, Ruben.rodriguez — 2019-02-18T16:00:00Z

Voici les références de deux articles fondamentaux de Frédéric Mansuy :

Mansuy Frédéric : Supersymétrie d'ordre 5. En ligne :
http://supersymetrie.fr/
Mansuy Frédéric : The Fibonacci Quarterly". En ligne :
https://www.fq.math.ca/Papers1/55-5/Mansuy.pdf

Nous souhaitons, dans les pages qui suivent, vous présenter et vous faire participer à une (toute petite) partie des travaux de Frédéric Mansuy.
De nombreux mathématiciens amateurs ont fait progresser les mathématiques et sont souvent restés dans les mémoires par un théorème ou une notion importante. Nous pensons bien sûr à Ramanujan ce personnage mystérieux mais aussi à Viète et à Fermat…
Sans vouloir choquer sa modestie, Frédéric Mansuy a, lui aussi un parcours peu commun puisqu'il a débuté sa vie professionnelle avec un CAP de tisserand et l'a poursuivie comme imprimeur. Il nous a conté que les travaux du Prix Nobel de chimie (en 2011) Daniel Schechtman pour sa découverte des Quasi-cristaux, s'étaient révélés un déclencheur puissant de sa recherche. Nous avons fait sa connaissance lors des journées internationales de l'Association des chercheurs passionnés par les suites de Fibonacci qui ont eu lieu l'année passée à Caen, organisées par notre collègue Christian Ballot, où il présentait ses travaux.

Voir en ligne : Image des Maths

Ces activités peuvent être suivies de considérations sur la physique des solides, en particuliers avec les quasi-cristaux, nous espérons pouvoir poursuivre ces recherches grâce aux compétences de Frédéric Mansuy dans ces domaines.

Étude géométrique et arithmétique de la « Rosace Céleste » (Une extension d'un pavage de R. Penrose).

ruben rodriguez — 2018-05-09T15:36:52Z

A la suite de notre présentation des rosaces célestes (voyez la bibliographie et le
site IREM Caen), notre collègue Jean-Pierre Le Goff nous avait suggéré
d'étudier une propriété intéressante des rosaces célestes ; « Lorsque l'on
augmente le nombre p des côtés des rosaces leurs diamètres tendent vers une
limite finie ». Cette propriété éventuelle nous a intrigués et Ruben Rodriguez l'a
étudiée et étendue à une étude détaillée pour les élèves professeurs et les
étudiants de deuxième année post-bac scientifiques selon les propriétés du
nombre p : p premier ou pas, p pair ou impair et p multiple de 4 ou non... Nous
allons étudier ces différents cas qui peuvent être présentés dans le cadre d'une
étude des convergences ou divergences des séries numériques

La obra maestra del Compañero Cantero

Danielle.salles, ruben rodriguez — 2017-12-02T18:21:57Z

Introducción : esta actividad es la continuación de los trabajos del equipo Geometría y Relaciones Internacionales del IREM de Normandía-Caen cargable sobre nuestro sitio :
https: // irem.unicaen.fr / y, más particularmente :
Https : // irem.unicaen.fr / spip.php ? Article197 disponible también en español.

Nivel : a partir del segundario básico y para los alumnos profesores
Presentación del trabajo : desarrollamos en un texto que será publicado pronto in-extenso en un folleto I.R.E.M. Normandía la noción de : " Rosetones Celestes " que es una extensión de un pavimento de Roger Penrose presentado en el suelo de una iglesia de la Menorca : Santa María de Mahón.

Una actividad constructiva de pavimento bajo forma histórica
Material : hojas de papel grueso de formato A3, transportador, compás, regla de 20cm, tijeras, lápices, si es posible una superficie de trabajo de madera y software GEOGEBRA.

Presentación de la historia : Un compañero cantero, encargado por los Monumentos Históricos de rehacer el piso de una bella pequeña capilla en rotonda tuvo ganas de dejar, como los constructores de catedrales, su marca en la historia, esta sería, además, su obra maestra de recepción de Compañero (Los "Compañeros del Tour de Francia" o "Del Deber" son compañeros particularmente competentes que trabajan muchas veces para los Monumentos Históricos). El decidió entonces solar la rotonda con un Rosetón Celeste. Hacía falta que este trabajo fuese realizable y debió hacer por su puesto algunos cálculos.


La obra maestra del Compañero Cantero

Voir en ligne : https: // irem.unicaen.fr / y, más...

Le chef d'œuvre du Compagnon

adminr, Danielle.salles, Ruben.rodriguez — 2017-10-05T19:58:13Z

Les études concernant le pavage du plan au sens mathématique, c'est-à-dire un recouvrement du plan par des polygones ne comportant ni recouvrements ni espaces vides sont nombreuses et intéressantes tant par leur intérêt mathématique (le recouvrement par des pentagones non réguliers est toujours d'actualité et comporte des résultats très récents) que par leur intérêt esthétique qui a fasciné de nombreux architectes (voyez les murs de certaines constructions londoniennes) mais aussi les physiciens, les chimistes et les biologistes (recherche de films mono-moleculaires à propriétés spéciales).
Le professeur et l'élève pourront y trouver des sujets de recherche très variés, du type, par exemple de celui que nous vous proposons ici qui mêle activités mathématiques, documentation et recherche en ligne, réalisation physique en papier fort et/ou construction avec un logiciel du type de GEOGEBRA.
Cette activité fait suite aux travaux de l'équipe Géométrie et Relations Internationales de l'IREM de Normandie-Caen. Voir l'article téléchargeable sur notre site : https://irem.unicaen.fr/spip.php?article197 (disponible aussi en espagnol).
Autre ressource sur les pavages : Coordonnée par Brigitte Rozoy, une brochure tapuscrite numérisée est téléchargeable via le site de l'IREM de Normandie ; "De MC ESCHER aux dessins à motifs répétitifs" à l'url : http://numerisation.irem.univ-mrs.fr/CA/ICA82002/ICA82002.pdf

Matériel recommandé : Papier à dessin fort, ciseaux ; matériel géométrique : compas, règle graduée. Il est recommandé de disposer du logiciel GEOGEBRA.
Cette activité fait suite aux travaux de l'équipe Géométrie et Relations Internationales de l'IREM de Normandie-Caen. Voir l'article téléchargeable sur notre site : https://irem.unicaen.fr/spip.php?article197 (disponible aussi en espagnol).
Autre ressource sur les pavages : Coordonnée par Brigitte Rozoy, une brochure tapuscrite numérisée est téléchargeable via le site de l'IREM de Normandie ; "De MC ESCHER aux dessins à motifs répétitifs" à l'url : http://numerisation.irem.univ-mrs.fr/CA/ICA82002/ICA82002.pdf

Matériel recommandé : Papier à dessin fort, ciseaux ; matériel géométrique : compas, règle graduée. Il est recommandé de disposer du logiciel GEOGEBRA.
Quelques rappels et présentation : Nous avons développé dans un texte qui sera publié prochainement in-extenso dans une brochure I.R.E.M. Normandie la notion de : « Rosaces Célestes » qui est une extension d'un pavage de Roger Penrose présenté au sol d'une église de Minorque : Santa Maria de Mahon.
Cet article est dédié à la mémoire de notre cher collègue et ami Eric Trotoux qui nous a quittés des suites d'un accident en avril 2018, il était notre précieux relecteur et l'auteur de la superbe rosace céleste, logo de cet article.

Présentation de l'activité proposée aux élèves de Troisième et de Lycée ainsi qu'aux élèves professeurs et lecteurs intéressés par les réalisations des bâtisseurs de cathédrales
« Un compagnon tailleur de pierre, chargé par les monuments historiques de refaire le sol d'une belle petite chapelle en rotonde eut envie de laisser, comme les bâtisseurs de cathédrales, sa marque dans l'histoire, ce serait, de plus, son chef d'œuvre de réception de Compagnon. Il décida donc de paver la rotonde d'une Rosace Céleste. Il fallait que ce travail soit réalisable bien sûr et il dut faire quelques calculs.
La chapelle avait un diamètre de 4m mesuré au décamètre souple des maçons. Voici comment il procéderait pour tracer la fameuse Rosace Céleste : il tracerait sur le sol en ciment de son atelier un cercle de diamètre 4m puis un polygone régulier comme savent tous faire les bâtisseurs de cathédrale pour leurs vitraux et leurs pavages de nefs c'était souvent des octogones, parfois des décagones… »

Ce texte donne de belles opportunités de développements pour un large éventail de lecteurs dont nous donnons ici un aperçu.

Intérêt historique : il peut être demandé aux élèves de se documenter sur les différentes rosaces utilisées dans le domaine de l'art et de l'architecture, le premier épaulant le second.
Intérêt géométrique porté par les grandes créations de pavage du plan, développé de façon magistrale par Roger Penrose.
Intérêt scientifique en particulier biologique et chimique : assemblage des molécules d'un film mince.
Evidemment intérêt mathématique :
Révision où renforcement des figures géométriques planes pour les plus jeunes, des lignes trigonométriques pour les plus grands.

Mots clés : pavage du plan ; polygones réguliers ; lignes trigonométriques ; échelle de représentation ; groupes finis Z/nZ et leurs sous-groupes ; vitraux

Activité autour des triangles d'or et des pavages de type 3 au sens de Roger PENROSE

Danielle.salles, Ruben.rodriguez — 2016-12-08T19:44:03Z

Nous vous présentons le texte français de notre conférence à l'Ile de Tatihou lors de la rentrée de l'IREM de Normandie.
Nous avons récemment mis en ligne sur ce site la version espagnole de ce texte à destination des classes bilingues franco-espagnoles et de nos correspondants sud-américains.
Voici un résumé :

Este artículo es la traducción en español del texto de nuestra conferencia hecha en la isla de Tatihou (Normandía, Francia) en el seminario del comienzo del año escolar del IREM de Caen el 28 de septiembre 2016.

Ce pavage est présenté dans des articles scolaires sur les pavages (Blog de Thérèse Eveilleau par exemple comme « Pavage de type 3 » sans étude particulière bien qu'à notre avis, il soit fort intéressant comme vous aller le constater.
Il nous a intrigués à cause de son motif principal : une rosace à 5 branches parsemée de façon aléatoire dans le pavage de la nef principale, le reste du pavage étant constitué de pavés posés "n'importe comment", nous pourrions dire "en vrac".

Cette rosace nous semblait, « à l'œil » un pentagone étoilé inscriptible dans un cercle.
Une photo, (celle du logo) nous détrompa, comme nous allons le voir ensemble…
Nous vous présentons donc dans cet article des activités géométriques autour de ce pavage très particulier et intéressant puisqu'il permet l'étude, du collège au lycée (et même des découpages amusants pour l'école maternelle) des fondamentaux :
Pavage du plan, mesure des angles en radians et/ou en degrés, angles inscrits ou au centre d'un cercle, somme des angles d'un quadrilatère, symétries et rotations,

Voici la présentation en espagnol de ce texte accessible ci-dessous.
Proponemos varias actividades y calculos sobre pentágonos estrellados y además heptágonos estrellados. Nos sirven a construir pavimentos que llamamos "al grano".
Hacemos conjecturas a propósito de construcción de los pavimentos realizada a partir de polígonos regulares de p lados en el caso que p es un número primero.
Estas actividades pueden ser propuestas tanto a los alumnos jóvenes del final del secundario asi como a los estudiantes del nivel superior..

Pour les étudiants de seconde et les élèves professeurs, nous avons ensuite développé une extension de ces pavages lorsque la rosace de départ a sept pointes. Cette activité est source de réflexion sur les nombres premiers et nous a incités à observer des rosaces à grand nombre -premier ou non- de pétales, ce qui donne lieu à des constructions très intéressantes avec GEOGEBRA et Cabri-géomètre qui ont été développées par nos collègues Philippe Langlois (groupe Jeux de l'IREM de Normandie-Caen) et Mathieu Blossier (IREM de Normandie-Rouen) que nous vous proposerons par la suite.

Atelier P. E. R. "R - Triangles rectangles"

Abderrahmane.nitaj, ruben rodriguez — 2015-10-22T15:36:59Z

"Les triangles rectangles de Ruben"
Dans cet article vous allez trouver un parcours de recherche très vaste sur un triangle rectangle particulier qui a attiré l'attention de Ruben Rodriguez Herrera.
Cette étude a été proposée en atelier-exposé lors des journées de rentrée de septembre et continuera à alimenter des recherches pendant l'année 2015-2016.
Vous allez découvrir un petit univers de recherche qui peut devenir plus grand...

Ouvrir les fichiers joints pour découvrir son contenu.

Le P.E.R. de Ruben Rodriguez Herrera.

Parcours de recherche de Ruben

version novembre 2015

Le complément proposé par A.Nitaj

Étude complémentaire de A. Nitaj

Version 22/09/2015

Le nombre d'or

Abderrahmane.nitaj, Danielle.salles, Legoff.jeanpierre, ruben rodriguez — 2015-02-11T16:55:43Z

Cet ouvrage est un recueil d'activités variées et pour la plupart originales sur le « Nombre d'Or ».
Nous vous présentons les divers domaines tant contemporains qu'anciens où ce nombre très particulier a été employé.
Vous trouverez donc dans ces pages :
La petite histoire du nombre d'or, celle du pentacle ou pentagone régulier, diverses spirales reliées ou non au nombre d'or, vues par les architectes, peintres et/ou mathématiciens.
Leurs propriétés scientifiques curieuses : la spirale d'or dont l'accroissement recopie presque exactement celle du nautile, du cœur du tournesol, de certaines nébuleuses, mais pas celle de votre tuyau d'arrosage…
Des nouveautés, pentagone, croix et spirale célestes, remarquables à cause de leurs relations étroites avec les vues en perspective.
L'Univers de ces objets fascinants : des pavages du plan, des considérations astronomiques et/ou de navigation en mer, les secrets des beaux tableaux renaissance et des belles photos numériques….
Dans chaque chapitre des présentations culturelles et/ou ludiques vous permettront d'entrer par la grande porte et de cheminer à votre goût et votre rythme dans ce « Langage mathématique de la beauté » comme le qualifie Cédric Villani dans sa collection « Le monde est mathématique ».
N'ayez pas peur de ces derniers mots car vous en ferez des dessins superbes, des pliages, des puzzles, des jeux pour les grands et petits…
Les auteurs conçoivent depuis longtemps des activités pour la formation des Professeurs des écoles, des lycées et des universités dans le cadre de l'Institut de Recherche sur l'Enseignement des mathématiques (I.R.E.M. de Basse-Normandie). Eric Lehman a été le premier Directeur de l'I.R.E.M. de Basse-Normandie en 1974.

Définition et propriétés des pentagones et croix célestes

Danielle.salles, Legoff.jeanpierre, ruben rodriguez — 2014-01-11T17:30:08Z

Nous avons publié dans le Miroir des maths, revue périodique de l 'I.R.E.M. de Basse-Normandie, n°11 des propositions d'activités variées autour de la notion de Pentagone Céleste, notion issue de l'étude de la spirale dorée, des rectangles d'or qui la constituent et de leurs diagonales successives. Cet article peut être téléchargé gratuitement sur notre site I.R.E.M.
Ces activités peuvent être proposées aux élèves de troisième du collège et aux lycéens ainsi qu'aux élèves professeurs.

Définitions et propriétés des pentagones célestes et croix célestes

Histoire des Arts et Mathématiques

Abderrahmane.nitaj, Danielle.salles — 2013-07-05T15:09:37Z

Abderrhamane NITAJ vous propose un document très complet, d'activités autour du nombre d'or pour les classes de troisième et de seconde :
Sa présence, réelle et/ou supposée dans la peinture et l'architecture
Ses aspects variés mathématiques : géométriques et analytiques.

Partie I. Le nombre d'or.

Partie II. Le nombre d'or dans la géométrie.
1) Le rectangle d'or.
2) La spirale d'or.
3) Le triangle d'or.
4) Le pentagone régulier.
5) L'octogone régulier.

Partie III. Le nombre d'or dans la peinture.
1) Le sacrement de la dernière cène, Salvador Dali.
2) L'Homme de Vitruve, Léonard de Vinci.
3) La naissance de Vénus, Sandro Botticelli.

Partie IV. Le nombre d'or dans l'architecture.
Le nombre d'or dans la nature.

Partie V. Des calculs avec le nombre d'or.

Partie VI. Le mythe du nombre d'or.

Histoire de l'Art et Mathématiques : le Nombre d'Or